素域 Fₚ：模质数的有限域

1. 为什么需要“域”

在普通有理数中，可以进行加、减、乘以及除以非零元素。密码学和多项式计算也需要一个封闭、可逆、元素数量有限的运算系统。

有限域（Finite Field）正是这样的结构。最基础的一类有限域来自模质数运算，记作 $\mathbb F_p$。

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2. 从 $\mathbb Z_p$ 到 $\mathbb F_p$

当 $p$ 是质数时，模 $p$ 的剩余类集合为

$$\mathbb Z_p=\{0,1,\dots,p-1\}.$$

在模 $p$ 的加法和乘法下，它构成有限域：

$$\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z.$$

在只讨论素数模数时，也常把 $\mathbb Z_p$ 与 $\mathbb F_p$ 视为同一个具体结构的两种记号：前者强调剩余类，后者强调域结构。

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3. 为什么每个非零元素都有逆元

任取

$$a\in\{1,2,\dots,p-1\}.$$

因为 $p$ 是质数，而 $a$ 不是 $p$ 的倍数，所以

$$\gcd(a,p)=1.$$

由模逆元的存在条件，$a$ 在模 $p$ 下有乘法逆元。因此 $\mathbb F_p$ 可以进行：

• 加法；
• 减法；
• 乘法；
• 除以非零元素。

其中“除以 $b$”表示

$$a/b=a * b^{-1},qquad b\neq0.$$

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4. 为什么模合数通常不是域

考察 $\mathbb Z_6$：

$$2 * 3=6\equiv0\pmod6.$$

2 和 3 都不是零，但乘积却等于零。这样的元素称为零因子（Zero Divisor）。

如果 2 有逆元 $x$，则应满足

$$2x\equiv1\pmod6.$$

但 $2x$ 总是偶数，不可能模 6 后落在剩余类 1。因此 2 没有逆元，$\mathbb Z_6$ 不是域。

一般结论是：

$$\mathbb Z_n\text{ 是域} \iff n\text{ 是质数}.$$

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5. 完整例子：$\mathbb F_7$ 中的除法

计算

$$4/3\quad\text{in }\mathbb F_7.$$

先求 3 的逆元：

$$3^{-1}\equiv5\pmod7.$$

再乘：

$$4/3 =4 * 5 =20 \equiv6\pmod7.$$

验证：

$$6 * 3=18\equiv4\pmod7.$$

所以结果是剩余类 6，而不是实数 $4/3$。

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6. $\mathbb F_p$ 与 $\mathbb F_p^*$

$\mathbb F_p$ 包含 0，并同时具有加法与乘法的域结构。

从中去掉 0，得到

$$\mathbb F_p^*=\mathbb F_p\setminus\{0\}.$$

$\mathbb F_p^*$ 只讨论非零元素在乘法下形成的群。不能把“域”和“乘法群”当成同一概念。

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7. 当前范围

这一篇只讨论元素个数为质数 $p$ 的素域。一般有限域可以有 $p^m$ 个元素，通常记作

$$\mathbb F_{p^m},$$

其构造需要多项式环和不可约多项式等知识，后续另行整理。

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8. 自测

1. 为什么 $\mathbb Z_7$ 中每个非零元素都有逆元？
2. 为什么 $\mathbb Z_6$ 不是域？
3. 在 $\mathbb F_7$ 中，$4/3$ 等于哪个剩余类？
4. $\mathbb F_p$ 与 $\mathbb F_p^*$ 的区别是什么？

参考答案

1. 每个 $1\leq a<7$ 都与质数 7 互质。
2. 它有非零零因子，例如 $2 * 3\equiv0\pmod6$。
3. 等于 6。
4. 前者包含 0，是域；后者去掉 0，只保留乘法群。

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