乘法群、生成元与单位根

1. 从有限域中去掉 0

在 $\mathbb F_p$ 中，0 没有乘法逆元，因此不能进入乘法群。去掉 0 后得到

$$\mathbb F_p^*=\mathbb F_p\setminus\{0\}.$$

它包含

$$\{1,2,\dots,p-1\},$$

所以群的阶，也就是元素个数，为

$$|\mathbb F_p^*|=p-1.$$

群运算是模 $p$ 的乘法。

---

2. 元素的阶

对群中元素 $a$，使

$$a^d=1$$

成立的最小正整数 $d$，称为 $a$ 的阶（Order），记作

$$\operatorname{ord}(a)=d.$$

例如在 $\mathbb F_7^*$ 中考察 2：

$$2^1\equiv2,qquad 2^2\equiv4,qquad 2^3\equiv1\pmod7.$$

因此

$$\operatorname{ord}(2)=3.$$

“元素的阶”和“群的阶”不是同一个概念：前者是幂回到单位元所需的最小次数，后者是群中元素的数量。

---

3. 生成元与循环群

如果某个元素 $g$ 的幂可以遍历群中的所有元素，则 $g$ 称为生成元（Generator），群称为循环群（Cyclic Group）。

可写成

$$\mathbb F_p^*=\langle g\rangle.$$

在 $\mathbb F_7^*$ 中取 $g=3$：

$$\begin{aligned} 3^0&\equiv1,\\ 3^1&\equiv3,\\ 3^2&\equiv2,\\ 3^3&\equiv6,\\ 3^4&\equiv4,\\ 3^5&\equiv5 \pmod7. \end{aligned}$$

结果遍历 $\{1,2,3,4,5,6\}$，所以 3 是模 7 的一个生成元，且

$$\operatorname{ord}(3)=6.$$

有限域非零元素乘法群是循环群，但这一结论的完整证明需要更多群论与多项式知识，当前笔记只记录结论和可验证例子。

---

4. 单位根

若元素 $\omega$ 满足

$$\omega^n=1,$$

则称它为一个 $n$ 次单位根（Root of Unity）。

如果 $\omega$ 的阶恰好等于 $n$，则称它为原始 $n$ 次单位根（Primitive $n$-th Root of Unity）。

这两个条件不能混淆：$\omega^n=1$ 只说明 $\operatorname{ord}(\omega)$ 整除 $n$，不一定等于 $n$。

---

5. 在有限域中构造单位根

设 $g$ 是 $\mathbb F_p^*$ 的生成元，并且

$$n\mid(p-1).$$

令

$$\omega=g^{(p-1)/n}.$$

则

$$\omega^n =g^{p-1} =1.$$

因为 $g$ 的阶为 $p-1$，这个构造得到的 $\omega$ 的阶恰好为 $n$。

这里必须同时满足：

• $g$ 是整个乘法群的生成元；
• $n$ 整除 $p-1$。

如果任意选择一个非零元素代替生成元，得到的元素阶可能小于 $n$。

---

6. 具体例子：$\mathbb F_{17}$ 中的 4 次单位根

$\mathbb F_{17}^*$ 的阶为 16，而

$$4\mid16.$$

取一个生成元 $g=3$，构造

$$\omega=3^{16/4}=3^4\equiv13\pmod{17}.$$

验证：

$$13^2\equiv16\equiv-1\pmod{17},$$

所以

$$13^4\equiv1\pmod{17}.$$

同时 $13^2\not\equiv1\pmod{17}$，因此 13 的阶不是 1 或 2，而是 4。它是原始 4 次单位根。

---

7. Python 验证生成元的幂

p = 7
g = 3

values = [pow(g, k, p) for k in range(p - 1)]
print(values)

预期输出会按某种顺序遍历 $1$ 到 $6$ 的全部非零剩余类。

这个例子不能替代“任意有限域非零元素乘法群都是循环群”的一般证明。

---

8. 自测

1. 为什么 $0$ 不属于 $\mathbb F_p^*$？
2. 群的阶和元素的阶有什么区别？
3. $\omega^n=1$ 是否一定说明 $\omega$ 的阶为 $n$？
4. 构造原始 $n$ 次单位根时，为什么需要 $n\mid(p-1)$？

参考答案

1. 0 没有乘法逆元。
2. 群的阶是元素总数；元素的阶是其幂第一次回到单位元的正指数。
3. 不一定，只能说明元素的阶整除 $n$。
4. $\mathbb F_p^*$ 的阶为 $p-1$，阶为 $n$ 的循环子群需要与这个群阶相容。

上一篇：素域 $\mathbb F_p$。
下一篇：从单位根到 NTT。