数论学习路线：从整数到有限域与 NTT
把数论基础拆成可独立学习的小知识点，并说明整除、同余、模逆元、有限域和单位根之间的先后关系。
关键词数论 · 学习路线 · 有限域 · NTT
建议先了解
- 整数的基本四则运算
- 幂运算
1. 这篇笔记的作用
这一页只负责说明学习顺序，不再把所有数论知识塞进同一篇文章。每个核心知识点都有独立的 Markdown 文件，可以单独阅读、修改和继续扩展。
整条路线是：
整除、质数与最大公约数
↓
欧几里得算法与 Bézout 等式
↓
同余与剩余类
↓
模逆元
↓
费马小定理
↓
有限域 F_p
↓
乘法群 F_p^* 与单位根
↓
NTT / 有限域 FFT
这条路线不是简单的名词列表。每一步都为下一步提供必要条件：
- 整除定义了最大公约数和互质；
- Bézout 等式解释了模逆元为什么存在；
- 模逆元让模运算中的“除法”成为可能；
- 模质数时，每个非零元素都有逆元，因此得到有限域；
- 有限域的非零元素形成乘法群；
- 乘法群中的特定元素产生单位根；
- 单位根支撑 NTT 的分治计算。
2. 建议阅读顺序
第一步：整数结构
这一部分回答“互质从哪里来”以及“怎样高效计算最大公约数”。
第二步：模运算
这一部分回答“为什么不同整数可以代表同一个余数类”以及“什么时候可以在模运算中做除法”。
第三步：有限域结构
这一部分从运算进入代数结构，区分域、乘法群、生成元和元素的阶。
第四步：计算应用
这一部分解释前面的数论知识为什么会进入多项式计算、密码学和零知识证明。
3. 阅读方式
每篇 Note 尽量只解决一个中心问题，并包含：
- 为什么需要这个概念；
- 准确定义与适用条件；
- 一个可以完整跟随的例子；
- 容易混淆的概念；
- 自测问题和下一篇链接。
如果某一篇仍然过长，后续还会继续拆分。目录由每篇文件的元数据自动生成，所以增加、移动或调整知识点时，不需要重写整个网站页面。
4. 当前核验边界
这些内容是公开学习草稿。基础定义和示例已经整理并完成页面渲染检查，但涉及下列结论时仍会继续补充严格证明：
- 有限域非零元素乘法群为什么一定是循环群；
- 原始单位根的存在条件；
- NTT 正变换、逆变换和卷积定理；
- 这些结构在具体密码协议中的适用条件。
下一篇从最基础的整除、质数与最大公约数开始。